Giao điểm các đường chia ba các góc của một tam giác bất kỳ, tạo thành một tam giác đều.
Định lý Morley có thể chứng minh hoàn toàn bằng phương pháp sơ cấp, nhưng khá rắc rối và dùng tính toán lượng giác. Dùng lượng giác thực ra là dùng số phức được ngụy trang vì công thức cơ bản của lượng giác 
Anh Alain Connes có đưa ra chứng minh định lý Morley bằng phương pháp thuần túy lý thuyết nhóm. Bần đạo xin tóm tắt lại chứng minh của anh Alain cho bạn tiện theo dõi.
read more…
Có bạn đọc hỏi thăm xem số phức dùng trong hình phẳng như thế nào. Bài này và bài sau viết để trả lời câu hỏi của bạn. Trong bài này, ta chỉ quan tâm đến việc thiết lập một từ điển nho nhỏ giữa một dạng ma trận phức đặc biệt và các phép biến hình quen thuộc trên mặt phẳng.
Sau khi đồng nhất mặt phẳng thực 
Bạn đã biết các phép quay và vị tự có tâm là gốc tọa độ tạo thành nhóm 
Phép tịnh tiến theo vec tơ 
Lời ca trong trẻo của Barbara bỗng trở nên căng như dây đàn bắt đầu từ khổ nhạc
Quand ils ne savent rien nous dire,
Ils restent là à nous sourire
Mais nous les comprenons quand même,
Les enfants blonds de Göttingen.
Những đứa trẻ tóc vàng của Göttingen. Còn Barbara đã từng là một đứa trẻ do thái tóc đen đi qua chiến tranh thế giới thứ hai để lại bao người thân ở lại trại tập trung của phát xít.
Bài hát này nói về tình bạn giữa nước Đức và nước Pháp. Tìm đến những giá trị văn hóa chung để bao ký ức đen tối trở thành những trang sách của lịch sử, mà ta không quên, nhưng thôi không còn là ngọn lửa thiêu đốt trái tim con người. Con đường nào đã đưa nước Pháp và nước Đức trở thành những người bạn chân thành sau hai cuộc chiến đẫm máu ?
Ai chịu khó đọc Thích Học Toán thường xuyên thì đã mường tượng được thế nào là đa tạp rồi. Mặt cầu là một đa tạp hai chiều. Trong bài trước, ta xây dựng một đa tạp hai chiều khác gọi là mặt phẳng xạ ảnh thực bằng cách đồng nhất các cặp điểm đối xứng tâm trên mặt cầu. Đặc điểm cốt yếu của đa tạp là ở lân cận của một điểm, trên mặt cầu, hay trên mặt phẳng xạ ảnh thực, nó không có gì khác với lân cận của một điểm ở trên mặt phẳng thông thường. Cái khó, cái lý thú là làm thế nào khâu lại các mảnh của đa tạp lại với nhau. Giống hệt như cách bạn Vi cặm cụi khâu vá các mảnh của cuộc đời mình.
Lúc ngộ ra rồi cũng là lúc chúng ta nên cùng nhau diễn đạt cái ta ngộ ra rồi thành lời. Diễn đạt tường minh một hiện hữu mông lung là một sự giải phóng. Giải phóng cho nó và giải phóng cho bản thân mình.
Truyện ngắn của Phan Việt từ tập Nước Mỹ, nước Mỹ.
——————————————————————————-
Rồi thì nắng cũng hửng lên sau đợt rét dài. Mẹ tôi đã dậy từ 6 giờ sáng mở các cửa nhà cho không khí mới ùa vào rồi nấu ăn sáng và chuẩn bị cặp xách cho đứa cháu trai 4 tuổi đến trường. Bảy giờ sáng, cháu tôi dậy, hét lên từ trong chăn:
- Baaaaaaaaaaaà! Bà đâu rồiiiiiiii? Bàaaaaaaaaa…
Không có tiếng trả lời. Mẹ tôi có lẽ đang ở đầu ngõ mua thêm mớ hành, hoặc đang dở tay ngoài hiên trước. Anh trai và chị dâu tôi đi làm từ trước bảy giờ còn em trai tôi đang ngủ nướng sau khi thức đến 2 giờ sáng để chat trên mạng.
- Baaaaaaaaaaaà! Bà đâu rồiiiiiiiiiii? Bàaaaaaaaaa…
Tiếng “bà” cuối cùng đã có hơi hướng nước mắt. Rồi có tiếng chân đập xuống giường và tiếng hấm hích. Tôi tung chăn ngồi dậy. Nhưng đã có tiếng kẹt cửa ở tầng dưới và tiếng bố tôi:
- Đây đây, ông đây…
Tiếng đập chân to hơn trong khi những tiếng hấm hích biến thành tiếng khóc.
- Bà cơ… Bà đâu rồi? Bà ơi huhu…
- Bố mày! Bà đang ở dưới nhà. Ra đây ông xem nào. Đi tè nhá. Dậy đi tè rồi còn đi học.
- Bà cơ… Bà ơiiiiiiiiiiii… read more…
Câu hỏi này của bạn Mcleppard
Bạch Hòa thượng, hồi em học đồng cấu giữa nhóm SU_2(R) và SO_3(R), thày em có nói về chuyện muốn hình dung SO_3(R) thì có thể lấy mặt cầu 3 chiều cắt đôi tại xích đạo rồi đem dán chỗ bị cắt lại sao cho các điểm đối xứng qua tâm được dán với nhau. Cái trò này làm với hình cầu 1 chiều rất dễ, tại vì chỉ có 1 cặp điểm ở chỗ cắt. Với hình cầu 2 chiều thì lại không làm được, bởi vì phải twist cái vành xích đạo lại ( thành hình số 8 ) thì mới dán được đúng yêu cầu. Ấy thế mà thày bảo với hình cầu 3 chiều thì lại OK. Em tưởng tượng mãi vẫn chưa ra làm sao mà có thể dán lại mà không cần twist (hoặc là có twist mà không sao), bởi vì bây giờ phải dán các điểm đối xứng tâm của một hình cầu 2 chiều. Mà như thế tức là tất nhiên lại phải dán cái vành xích đạo mà mình đã không dán được ở trên. Hòa thượng có thể cho em biết vì sao lại làm được và có cách nào dễ hình dung nó ra không ạ? Cảm ơn Hòa thượng nhiều
gợi ý cho entry của ngày hôm nay. Đây là một dịp hiếm có để ta giải đáp cái băn khoăn muôn thủa của Boy về định hướng cho mặt phẳng xạ ảnh hai chiều thực.
Chuyện gì xảy ra nếu ta đồng nhất các cặp điểm đối xứng tâm trên hình cầu 
Ai cũng biết, hoặc cứ tưởng là mình biết, số thực là gì. Đại bộ phận dân số thế giới mới nghe đến số phức thì đã nhăn mặt như ăn phải ớt. Kể ra cũng hơi tiếc. Còn số qua téc nhông là gì thì có hỏi đến giáo viên toán đai học cũng bốn người may ra có một người biết. Thực ra, không biết qua téc nhông cũng không đến nỗi thiệt thòi như không biết số phức. Nhưng vì vừa nói chuyện dời hình, bần đạo bèn nghĩ ra hầu chuyện qua téc nhông cho các bạn đầu năm giải trí. Nhân tiện cũng xin thuật lại chuyện số phức cho bạn nào tủi thân chưa biết số phức.
Với mấy người luôn thắc mắc về ứng dụng trong đời sống hàng ngày, tôi xin thưa ngay là qua téc nhông không có ứng dụng gì cả. Chỉ tiếc cho bạn mất cái niềm vui nho nhỏ như đọc sách của Jacquet-Langlands, tìm hiểu đường cong của Shimura và sẽ bỡ ngỡ khi phải phân loại holonomy. Tệ nhất là không biết xây dựng phân thớ Hopf như thế nào. Còn lúc nãy đọc trang wikipedia, thấy người ta nói số qua téc nhông còn được dùng để làm 3d computer graphic, nhưng tôi không biết thực hư ra sao. Thực ra ai làm gì mà cứ tự hỏi làm gì để làm gì thì người đó đã vô tình đánh mất tới chín phần mười cái sung sướng, giống hệt chuyện cụ Hinh hóa cá.
Truyện ngắn của Phan Việt trích từ tập Nước Mỹ, nước Mỹ.
——————————————————————————
“Cái gì của Caesar thì trả về cho Caesar”
***
Buổi sáng ngày cuối cùng của năm ngoái, tôi và Minh ở Maine và chúng tôi đã cãi nhau trên đường từ trung tâm thị trấn về nhà. Trận cãi nhau bắt đầu ở một đèn đỏ. Lúc đợi đèn, tôi soi vào cái gương phía trên đầu. Tôi nhìn mặt tôi trong gương; rồi tôi nói:
- Mặt em cứ thế nào ấy. Mắt em không giống hồi xưa nữa.
- Sao lại không giống? – Minh hỏi trong lúc vẫn theo dõi đèn – Anh thấy vẫn thế.
- Không… trông cứ thế nào ấy. Chắc tại bây giờ không vui như hồi trước.
Trước khi tôi nói những lời này, Minh đang cầm tay tôi. Nhưng đèn chuyển sang xanh. Minh bỏ tay tôi ra để đánh tay lái sang trái. Sau đó, anh không cầm lại tay tôi nữa. read more…
Ở Essen đang diễn ra hội nghị về Hình học đại số và số học. Không ai nhắc đến tên của Eckart nhưng tất cả mọi người đều nghĩ về Eckart.
Nhà toán học Đức Eckart Viehweg và người bạn đời của ông, nhà toán học Pháp Hélène Esnault trong thập kỷ vừa qua đã biến trường đại học Essen thành một vườn ươm các nhà toán học trẻ Đức trong chuyên ngành Hình học đại số. Từng lớp người đến, người đi, hàng năm không ít hơn mười nhà khoa học với cái bằng tiến sĩ mới tinh khôi, qua đây để tiếp tục tôi luyện và tìm ra con đường khoa học riên của mình. Hàng năm, ông bà Eckart và Hélène tổ chức working seminar để các cộng sự trẻ của mình cổ vũ nhau mà học tập những thành tựu mới của khoa học và để duy trì mọt không khí học hỏi, cạnh tranh lành mạnh. Một đồng nghiệp người Đức của tôi, nay đã đi làm giáo sư ở nơi khác, hay nhắc lại với tôi về thời gian của anh ở Essen như một quãng thời gian tuyện vời của cuộc đời.
Và từ vài năm gần đây, Essen cũng kiêm luôn làm một vườn ươm cho toán học Việt Nam. Sang Essen lần này, tôi gặp không ít hơn một chục đồng hương, đang học tập ở Essen. Hoặc quay lại như anh Hải. Anh Hải đã sống ở Essen, làm việc trong nhóm nghiên cứu của ông Eckart và bà Helene hơn năm năm.
Essen là một thành phố xấu xí. Eckart và Helene đã biến nó thành một thiên đường cho bao nhà toán học trẻ.
Eckart mất đột ngột vào cuối tháng một vừa qua. Đối với tôi, ông là một người bạn dù mới chỉ gặp ông hai ba lần. Buồn nhớ hình ảnh dịu dàng của Eckart và những gì ông làm được cho những người khác. Chỉ mong Hélène luôn luôn vững vàng.
Ảnh chụp ở Hà Nội, tháng một năm 2009 bằng máy ảnh của Eckart Viehweg.
